Gerade durch B & || zu G & H < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Di 17.03.2009 | | Autor: | evils |
| Aufgabe | H: [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] - 4 = 0, A(-1/2/2), B(3/-3/1)
a) Bestimme eine Normalform der Ebene E, die auf H senkrecht steht und durch A und B geht.
b) Bestimmte eine Normalform der Ebene G, die AB in A senkrecht schneidet
c) Bestimme den Schnittwinkel [mm] \alpha [/mm] von G und H
d) Bestimmte eine Gleichung der Gerade g, die durch B geht und parallel zu G und H ist.
e) Bestimme den Schnittwinkel [mm] \beta [/mm] von g und F: H: [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] - [mm] x_{3}= [/mm] 0
(S.262/26 - Oldenbourg Anschauliche Analytische Geometrie) |
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie man bei der Teilaufgabe d, zu der Geraden g kommt. Zuerst dacht ich eigentlich, da E senkrecht auf H steht, B in der Ebene E liegt und g parallel zu H und G sein soll, dass die Gerade g senkrecht auf E steht.. somit ist der Normalenvektor von E der Richtungsvektor von g und Aufpunkt ist natürlich B:
g: [mm] \vec{X} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -3 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Aber mein Mathelehrer meinte, dass man das mit der Schnittgerade von G und H errechnen muss...nun weiß aber nicht genau wie das gehen soll..
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann... :)
Lg und schonmal Danke,..
Susi
Zwischenergebnisse:
a) [mm] \vec{n_{H}} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1} \vec{n_{E}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm]
E: [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] +1 = 0
b) [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vec{n_{G}} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -5 \\ -1} [/mm]
G: [mm] 4x_{1}-5 x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] +16 = 0
c) cos [mm] \alpha =|\bruch{\vec{n_{G}} \circ \vec{n_{H}}}{|\vec{n_{G}}| |\vec{n_{H}}|}| [/mm] => [mm] \alpha [/mm] 40,8°
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Di 17.03.2009 | | Autor: | glie |
> H: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - 4 = 0, A(-1/2/2), B(3/-3/1)
>
> a) Bestimme eine Normalform der Ebene E, die auf H
> senkrecht steht und durch A und B geht.
> b) Bestimmte eine Normalform der Ebene G, die AB in A
> senkrecht schneidet
> c) Bestimme den Schnittwinkel [mm]\alpha[/mm] von G und H
> d) Bestimmte eine Gleichung der Gerade g, die durch B geht
> und parallel zu G und H ist.
> e) Bestimme den Schnittwinkel [mm]\beta[/mm] von g und F: H: [mm]x_{1}[/mm]
> + [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}=[/mm] 0
>
> (S.262/26 - Oldenbourg Anschauliche Analytische Geometrie)
> Ich bin mir nicht ganz sicher, wie man bei der Teilaufgabe
> d, zu der Geraden g kommt. Zuerst dacht ich eigentlich, da
> E senkrecht auf H steht, B in der Ebene E liegt und g
> parallel zu H und G sein soll, dass die Gerade g senkrecht
> auf E steht.. somit ist der Normalenvektor von E der
> Richtungsvektor von g und Aufpunkt ist natürlich B:
>
> g: [mm]\vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ -3 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> Aber mein Mathelehrer meinte, dass man das mit der
> Schnittgerade von G und H errechnen muss...nun weiß aber
> nicht genau wie das gehen soll..
> Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann... :)
>
> Lg und schonmal Danke,..
> Susi
Hallo Susi,
also nach Teilaufgabe c) schneiden sich ja die Ebenen G und H.
Nimm dir zwei Blätter Papier und halte sie so, dass sich die beiden "Ebenen" schneiden. Jetzt versuch einen Stift (Gerade) so zu halten, dass der Stift parallel zu BEIDEN Ebenen ist.
Dann wirst du sehr schnell feststellen, dass der Stift parallel zur Schnittgerade von G und H sein muss.
Also kennst du doch den Richtungsvektor der gesuchten Gerade g.
Einen Aufpunkt für die Gerade g hast du ja, denn g soll ja durch Punkt B verlaufen.
Du musst aber noch die Schnittgerade von G und H bestimmen....weisst du wie das geht?
Gruß Glie
>
>
> Zwischenergebnisse:
> a) [mm]\vec{n_{H}}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 1} \vec{n_{E}}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> E: [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] +1 = 0
>
> b) [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vec{n_{G}}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -5 \\ -1}[/mm]
>
> G: [mm]4x_{1}-5 x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] +16 = 0
>
> c) cos [mm]\alpha =|\bruch{\vec{n_{G}} \circ \vec{n_{H}}}{|\vec{n_{G}}| |\vec{n_{H}}|}|[/mm]
> => [mm]\alpha[/mm] 40,8°
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Di 17.03.2009 | | Autor: | evils |
> > H: [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] - 4 = 0, A(-1/2/2), B(3/-3/1)
> >
> > a) Bestimme eine Normalform der Ebene E, die auf H
> > senkrecht steht und durch A und B geht.
> > b) Bestimmte eine Normalform der Ebene G, die AB in A
> > senkrecht schneidet
> > c) Bestimme den Schnittwinkel [mm]\alpha[/mm] von G und H
> > d) Bestimmte eine Gleichung der Gerade g, die durch B
> geht
> > und parallel zu G und H ist.
> > e) Bestimme den Schnittwinkel [mm]\beta[/mm] von g und F: H:
> [mm]x_{1}[/mm]
> > + [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}=[/mm] 0
> >
> > (S.262/26 - Oldenbourg Anschauliche Analytische Geometrie)
> > Ich bin mir nicht ganz sicher, wie man bei der
> Teilaufgabe
> > d, zu der Geraden g kommt. Zuerst dacht ich eigentlich, da
> > E senkrecht auf H steht, B in der Ebene E liegt und g
> > parallel zu H und G sein soll, dass die Gerade g senkrecht
> > auf E steht.. somit ist der Normalenvektor von E der
> > Richtungsvektor von g und Aufpunkt ist natürlich B:
> >
> > g: [mm]\vec{X}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ -3 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> >
> > Aber mein Mathelehrer meinte, dass man das mit der
> > Schnittgerade von G und H errechnen muss...nun weiß aber
> > nicht genau wie das gehen soll..
> > Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann... :)
> >
> > Lg und schonmal Danke,..
> > Susi
>
> Hallo Susi,
>
> also nach Teilaufgabe c) schneiden sich ja die Ebenen G und
> H.
> Nimm dir zwei Blätter Papier und halte sie so, dass sich
> die beiden "Ebenen" schneiden. Jetzt versuch einen Stift
> (Gerade) so zu halten, dass der Stift parallel zu BEIDEN
> Ebenen ist.
> Dann wirst du sehr schnell feststellen, dass der Stift
> parallel zur Schnittgerade von G und H sein muss.
>
> Also kennst du doch den Richtungsvektor der gesuchten
> Gerade g.
> Einen Aufpunkt für die Gerade g hast du ja, denn g soll ja
> durch Punkt B verlaufen.
>
> Du musst aber noch die Schnittgerade von G und H
> bestimmen....weisst du wie das geht?
>
>
> Gruß Glie
>
Schnittgerade berechnet man mit dem Kreuzprodukt von Normalenvektor G x Normalenvektor H
[mm] \vec{n_{H}}= \vektor{2 \\ -1 \\ 1} \times \vec{n_{G}} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -5 \\ -1} [/mm]
hm... ich weiß echt nicht aber irgendwie bekomm ich da auch immer 1, 1, -1 raus... also bzw 6,6,-6
-1 * -1 - 1 * -5 6
1 * 4 - 2 * -1 = 6
2 * -5 - -1 * 4 -6
wenn dies aber der Fall wäre, würde meine Gerade ja stimmen... ?!?!
Also den Richtungsvektor der Geraden, der laut Verbesserung herauskommen soll ist ( 4/2/-6) Ich versteh einfach nicht, wie man darauf kommt..
?!?!
>
> >
> >
> > Zwischenergebnisse:
> > a) [mm]\vec{n_{H}}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 1} \vec{n_{E}}[/mm] =
> > [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> > E: [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] +1 = 0
> >
> > b) [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vec{n_{G}}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -5 \\ -1}[/mm]
> >
> > G: [mm]4x_{1}-5 x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] +16 = 0
> >
> > c) cos [mm]\alpha =|\bruch{\vec{n_{G}} \circ \vec{n_{H}}}{|\vec{n_{G}}| |\vec{n_{H}}|}|[/mm]
> > => [mm]\alpha[/mm] 40,8°
> >
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> Schnittgerade berechnet man mit dem Kreuzprodukt von
> Normalenvektor G x Normalenvektor H
>
> [mm]\vec{n_{H}}= \vektor{2 \\ -1 \\ 1} \times \vec{n_{G}}[/mm] =
> [mm]\vektor{4 \\ -5 \\ -1}[/mm]
> hm... ich weiß echt nicht aber irgendwie bekomm ich da
> auch immer 1, 1, -1 raus... also bzw 6,6,-6
>
> -1 * -1 - 1 * -5 6
> 1 * 4 - 2 * -1 = 6
> 2 * -5 - -1 * 4 -6
>
> wenn dies aber der Fall wäre, würde meine Gerade ja
> stimmen... ?!?!
>
> Also den Richtungsvektor der Geraden, der laut Verbesserung
> herauskommen soll ist ( 4/2/-6) Ich versteh einfach nicht,
> wie man darauf kommt..
> ?!?!
Hallo,
wenn Deine geposteten Zwischenergebnisse stimmen (sind wirklich alle Vorzeichen richtig?), was ich nicht nachgerechnet habe, dann ist Dein Richtungsvektor für die Schnittgerade richtg.
Der aus Deiner Musterlösung stimmt nicht. Du kannst ja nachrechnen, daß er nicht senkrecht zu den Normalen der beiden Ebenen ist.
Daß es nun genau der Richtungsvektor ist, den Du zuvor gefunden hattest, ist Zufall:
halte zwei Blatt Papier senkrecht zueinander und überzeuge Dich davon, daß ein Stifft, der parallel zu der einen Ebnene ist, nicht unbedingt senkrecht zur anderen ist.
Gruß v. Angela
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> > > Zwischenergebnisse:
> > > a) [mm]\vec{n_{H}}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 1} \vec{n_{E}}[/mm] =
> > > [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> > > E: [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] +1 = 0
> > >
> > > b) [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vec{n_{G}}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -5 \\ -1}[/mm]
> > >
> > > G: [mm]4x_{1}-5 x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] +16 = 0
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> > > c) cos [mm]\alpha =|\bruch{\vec{n_{G}} \circ \vec{n_{H}}}{|\vec{n_{G}}| |\vec{n_{H}}|}|[/mm]
> > > => [mm]\alpha[/mm] 40,8°
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